Даже если ИП-работодатель сменил фамилию, а допсоглашение к трудовому договору по такому случаю оформлено не было, это не означает, что трудовые отношения прекращены.

Источник: Письмо Роструда от 04.06.2020 № ПГ/28836-6-1

Согласно ТК, в трудовом договоре указываются Ф.И.О. работника и наименование работодателя (Ф.И.О. работодателя - физлица), заключивших трудовой договор. Как разъяснил Роструд, при изменении имени или наименования работодателя стороны вправе заключить дополнительное соглашение к трудовому договору. Вправе, но не обязаны. В любом случае, отсутствие такого соглашения не влечет за собой прекращения или изменения трудовых отношений.

А вот в трудовую книжку запись нужно сделать непременно. Сведения об изменении фамилии ИП-работодателя вносятся в трудовую книжку в том же порядке, что и при изменении наименования организации. Т.е. отдельной строкой в графе 3 раздела «Сведения о работе» трудовой книжки делается запись о смене наименования работодателя с указанием даты изменения, а в графе 4 указывается основание переименования - приказ (распоряжение) или иное решение работодателя, его дата и номер.

Источник: Главная книга